M a t h e m a t i c a 入門

　

　このページは、これから、Mathematica を使おうとする人の 最初の一歩を手助けできたらと思って書いています。

Mathematica の起動

Mathematica を起動するには、kterm で

mathematica &

と入力します。
少し時間がかかりますが、しばらくするとMathematicaのウィンドウが出てきます。

まずは試しに

まずは、なにはともあれ足し算でもしてみましょう。 マウスのカーソルをMathematicaのウィンドウの白い部分の中に 移動させて下さい。 そして、

1+1

と入力し、　それから、

Shift を押しながら Return を押して下さい。

　　※Returnだけ押しても計算は実行されません。

ここでまた少し時間がかかります。 これは、計算をするMathematicaの本体を起動しているためです。 最初に計算する時だけなので、1+1を計算するのにこんなに遅いんじゃ 使い物にならないじゃないかと思ってはいけません。

どうでしょう、

In[1]:=
　　1+1

Out[1]=
　　2

という様に表示されたでしょうか？

三角関数は？

同じように sin x 、cos x 、tan x なども計算できます。

Sin[Pi/6]

を 1+1 と同じように計算してみて下さい。

In[2]:=
　　Sin[Pi/6]

Out[2]=

   1
   -
   2

このように関数の名前は頭文字が大文字で数学で使われる ままかあるいは完全なスペルになっています。

前の結果を使う

一つ前の計算の結果を使って計算を続けたいときは、 % という記号を使います。

In[3]:=
　　% * 2

Out[3]=
　　1

ここでは、 % には 1/2 が入ります。
% は、In，Outの[ ]内の数字で見て 一つ前の結果を、 %% は二つ前を指します。%%% 以降同様です。 また、Out[n]で結果を指定することも出来ます。

In[4]:=
　　3^Out[1]

Out[4]=
　　9

こんなことも

Limit[((x+h)^2-x^2)/h,h->0]

を試してみてください。
これは、微分の定義を x の２乗 に当てはめたものですが、ちゃんと、

In[5]:=
　　Limit[((x+h)^2-x^2)/h,h->0]

Out[5]=
　　2 x

という答が出てきますね。

∞は、Infinity　、　-∞は、-Infinity　と書きます。たとえば、

In[6]:=
　　Limit[3x/(1+x^2 Sin[1/x]),x->Infinity]

Out[6]=
　　3

というように。

ほら、このあたりから Mathematica ってすごいなぁって 思い始めたでしょう？

Mathematicaらしいとこ

{1,2,3}

のような表現をリストといい、Mathematicaでは 式として扱います。 リストに対して演算子や関数を使うと、 リストのそれぞれの要素について演算子や関数を適応し、 それぞれの結果をリストにまとめて結果とします。

In[7]:=
　　{1,2,3}*2

Out[7]=
　　{2, 4, 6}


In[8]:=
　　Cos[{0,Pi/3,2Pi/3,Pi}]

Out[8]=

　　    1    1
　　{1, -, -(-), -1}
　　    2    2

てな感じです。

どんどん行こう、おや？

次は、方程式でも解いて見ましょう。

Solve[(x-1)(x-2)(x-3)==0]

を計算させて下さい。 答えは見えていますが、

In[9]:=
　　Solve[(x-1)(x-2)(x-3)==0]

Out[9]=
　　{{x -> 1}, {x -> 2}, {x -> 3}}

おや、変な矢印が出てきましたね。 この -> をMathematica では、ルールといいます。 これは、リプレースオール /. とともに使用して、 式の一部を別の表現(式)で置き換える時に使うものです。

In[10]:=
　　(x+1)^2 +2(x+1) +1 /. {x+1 -> y}

Out[10]=
　　1 + 2 y + y^2

Solve の結果にルールが使われるのは、 その後の扱いが楽になるからです。
例えば、

In[11]:=
　　x^2+1 /. Out[9]

Out[11]=
　　{2,5,10}

ように使うことができます。 単に解のリストにしたいなら、

In[12]:=
　　x /. Out[9]

Out[12]=
　　{1,2,3}

とすればいいわけですね。

さあ、グラフだ

グラフをプロットする関数は Plot で、次のようにして使います。

In[13]:=
　　Plot[x^2-x,{x,-1,2}]

Out[13]=
　　-Graphics-

{x,-1,2}は、x が -1 から 2 の範囲をプロットしろということです。
（それをリストで与えているということなんですが。）

もう一つ描いてみましょう。
In[14]:=
　　Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi}]

Out[14]=
　　-Graphics-

Show という関数を使うと、 描いたグラフを重ねて見ることが出来ます。

In[15]:=
　　Show[Out[13],Out[14]]

Out[15]=
　　-Graphics-

こうなると交点が知りたくなるというもの。

前出のSolveを使えば交点が得られるでしょうか？

In[16]:=
　　Solve[x^2-x==Sin[x]
　　Solve::tdep:
　　　　The equations appear to involve
　　　　　　transcendental functions of the
　　　　　　variables in an essentially
　　　　　　non-algebraic way.

Out[16]=

　　            2
　　Solve[-x + x  == Sin[x]]

答えは、ダメですね。 「代数的でない形で変数の超越関数を含んでいる」 ってとこですか？ とにかくSinがあるから 代数的には解けないと言っている訳です。

そこで登場するのが、FindRoot です。 次の様にすれば、 FindRootはニュートン法により式を 数値的に解いてくれます。

In[17]:=
　　FindRoot[x^2-x==Sin[x],{x,2}]

Out[17]=
　　{x -> 1.61755}

{x,2}は、x の初期値を 2 として求めよ、 ということを指定しています。

まだ、続くつもり……